Morgans lover

Morgan-øynene er regler for inferens som brukes i propositional logic, som fastslår hva som er resultatet av å nekte et disjunction og en sammenheng med proposisjoner eller proposisjonelle variabler. Disse lovene ble definert av matematikeren Augustus De Morgan.

Loven i Morgan representerer et veldig nyttig verktøy for å demonstrere gyldigheten av en matematisk resonnement. Senere ble de generalisert innenfor begrepet sett av matematiker George Boole.

Denne generaliseringen av Boole er helt lik Morgan's innledende lover, men den er utviklet spesielt for sett snarere enn for proposisjoner. Denne generaliseringen er også kjent som Morgans lover.

Gjennomgang av proposisjonell logikk

Før du ser på hva Morgans lover er spesifikt og hvordan de brukes, er det praktisk å huske noen grunnleggende begrep av proposisjonell logikk. (For mer informasjon se artikkelen om proposisjonell logikk).

I feltet matematisk (eller proposisjonell) logikk er en inngang en konklusjon som utledes fra et sett av lokaler eller hypoteser. Denne konklusjonen, sammen med de nevnte lokalene, gir opphav til det som kalles matematisk resonnement.

Denne begrunnelsen må kunne demonstreres eller nektes; det vil si at ikke alle konklusjoner eller konklusjoner i en matematisk begrunnelse er gyldige.

feilslutning

En falsk innledning utstilt fra visse antagelser som antas å være sanne, kalles en feil. Fallacies har egenartet av å være argumenter som virker riktige, men matematisk er de ikke.

Propositional Logic har ansvaret for å utvikle og levere metoder ved hjelp av hvilken man uten tvil kan validere eller motbevise en matematisk begrunnelse; det vil si en gyldig konklusjon fra lokaler. Disse metodene er kjent som inngangsregler, hvorav Morgans lover er en del.

proposisjoner

De viktigste elementene i proposisjonell logikk er proposisjoner. Forslag er uttalelser om hvilken man kan si om de er gyldige eller ikke, men at de ikke kan være sanne eller falske på samme tid. Det bør ikke være tvetydighet i denne saken.

På samme måte som tallene kan kombineres ved hjelp av tillegg, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon, kan proposisjonene betjenes ved hjelp av den kjente konnektive (eller konnektorer) logisk: negasjon (, "no"), disjunction (V, "O"), sammenheng (Ʌ, "og"), betinget (→, "hvis ..., da ...") og biconditional (↔, "ja, og bare hvis").

For å jobbe mer generelt, i stedet for å vurdere spesifikke proposisjoner, betrakter vi proposisjonelle variabler som representerer eventuelle proposisjoner, og er vanligvis betegnet med små bokstaver p, q, r, s, etc.

En proposisjonell formel er en kombinasjon av proposisjonelle variabler gjennom noen av de logiske forbindelsene. Med andre ord er det en sammensetning av proposisjonelle variabler. De er vanligvis betegnet med greske bokstaver.

Det sies at en proposisjonell formel logisk innebærer en annen når sistnevnte er sant hver gang den første er sant. Dette er betegnet av:

Når den logiske implikasjonen mellom to proposisjonelle formler er gjensidig - det vil si når den forrige implikasjonen er gyldig også i motsatt retning - er formlene sannsynligvis logisk ekvivalente, og det er betegnet av

Logisk ekvivalens er en form for likestilling mellom proposisjonelle formler og tillater en å bli erstattet av den andre når det er nødvendig.

Morgans lover

Morgans lover består av to logiske ekvivalenser mellom to proposisjonelle former, nemlig:

Disse lovene tillater å separere negasjonen av et disjunction eller conjunction, som negasjoner av de involverte variablene.

Den første kan leses som følger: Negasjonen av et disjeksjon er lik negasjonens sammenheng. Og den andre leser slik: Negasjonen av en sammenheng er disjunksjonen av negasjonene.

Med andre ord, å nekte disjunksjonen av to proposisjonelle variabler, er ekvivalent med sammenhengen mellom negativene til begge variablene. På samme måte, for å nekte sammenhengen mellom to proposisjonelle variabler, er ekvivalent med disjeksjonen av negativene til begge variablene.

Som nevnt tidligere bidrar substitusjonen av denne logiske ekvivalensen til å demonstrere viktige resultater, sammen med de andre eksisterende regler for innledning. Med disse kan du forenkle mange proposisjonelle formler, slik at de er mer nyttige å jobbe med.

Følgende er et eksempel på et matematisk bevis ved hjelp av regler for innblanding, blant disse Morgans lover. Nærmere bestemt er det vist at formelen:

tilsvarer:

Sistnevnte er enklere å forstå og utvikle.

showet

Det er verdt å nevne at gyldigheten av Morgans lover kan demonstreres matematisk. En måte er å sammenligne sannhetstabellene dine.

sett

De samme reglene for innledning og begrepet logikk anvendt på proposisjoner, kan også utvikles med tanke på sett. Dette er det som kalles boolsk algebra, etter matematikeren George Boole.

For å skille mellom sakene, er det nødvendig å endre notasjonen og overføre til sett, alle begrepene som allerede er sett på den proposisjonelle logikken.

Et sett er en samling av objekter. Settene er betegnet med store bokstaver A, B, C, X, ... og elementene i et sett er betegnet med små bokstaver a, b, c, x, etc. Når et element a tilhører et sett X, er det betegnet av:

Når det ikke tilhører X, er notasjonen:

Måten å representere settene er å plassere elementene i nøklene. For eksempel er settet med naturlige tall representert av:

Setter kan også være representert uten å skrive en eksplisitt liste over elementene deres. De kan uttrykkes i skjemaet {:}. De to punktene er lest "slik at". En variabel som representerer elementene i settet, er plassert til venstre for de to punktene, og eiendommen eller tilstanden de tilfredsstiller er plassert på høyre side. Dette er:

For eksempel kan settet av heltall større enn -4 uttrykkes som:

Eller tilsvarende, og forkortet, som:

På samme måte representerer følgende uttrykk settene med henholdsvis like og ulige tall:

Union, kryss og utfyller av sett

Neste vil vi se analogene til den logiske forbindelsen når det gjelder sett, som er en del av de grunnleggende operasjonene mellom settene.

Union og veikryss

Foreningen og skjæringspunktet av settene er definert henholdsvis på følgende måte:

For eksempel, sett settene:

Da må du:

komplement

Komplementet til et sett dannes av elementene som ikke tilhører det settet (av samme type som originalen representerer). Komplementet til et sett A, betegnes av:

For eksempel, i de naturlige tallene, er komplementet til settet med like tall det for odde tall, og omvendt.

For å bestemme komplementet til et sett må det være klart fra begynnelsen det universelle eller hovedsettet av elementer som vurderes. For eksempel er det ikke lik å vurdere komplementet til et sett på de naturlige tallene som på de rasjonelle.

Følgende tabell viser sammenhengen eller analogien som eksisterer mellom operasjonene på tidligere definerte sett og de sammenhengende i den proposisjonelle logikken:

Laws of Morgan for sett

Endelig er Morgans lover på sett:

I ord: komplementet til en union er skjæringspunktet til komplementene, og komplementet til et skjæringspunkt er sammenslutningen av komplementene.

Et matematisk bevis på den første likestillingen ville være følgende:

Demonstrasjonen av den andre er analog.